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domingo, 5 de dezembro de 2010

Por que os satélites artificiais não caem.

Prof. Rogério C. Trajano da Costa, IFSC Transcrição da Revista do CDCC, julho/1987

Todos nós sabemos, pela experiência da nossa vida diária, que qualquer corpo projetado para cima acaba caindo de volta na superfície da Terra.

Este fato, como certamente já fomos informados, é devido à força da gravidade que a Terra exerce sobre todos os corpos; de modo que, para nos mantermos afastados de sua superfície, precisamos exercer uma força oposta que anule a influência da atração terrestre.

Esta força tanto pode ser a tensão de uma corda na qual estamos pendurados como o empuxo do ar no caso de um balão (o mesmo tipo de força que permite os navios flutuarem na água), ou ainda a diferença de pressão do ar entre as partes inferior e superior das asas de um avião; mas, num caso ou outro, podemos sempre reconhecer um meio de sustentação capaz de se opor ao efeito da força da gravidade.

Ora, no lançamento de um satélite artificial a propulsão do foguete atua apenas durante um tempo limitado no começo da trajetória, após o qual o satélite permanece em órbita sem o auxílio de qualquer força aparente.
Por que então um satélite não cai?

Para responder a esta pergunta a primeira coisa que devemos saber é que qualquer corpo abandonado nas vizinhanças imediatas da Terra é por esta atraído, com aceleração constante (a aceleração da gravidade).

Dizer que a aceleração de um corpo é constante significa dizer que sua velocidade cresce continuamente numa taxa uniforme, isto é, ela sofre acréscimos iguais em intervalos de tempo de mesma duração. No caso da gravidade, por exemplo, a velocidade de um corpo abandonado a partir do repouso (com velocidade nula portanto) cresce 9,8 m/s em cada segundo. Assim, por exemplo:

  • No fim de 1 segundo sua velocidade será: 0 + 9,8 m/s = 9,8 m/s.
  • No fim de 2 segundos sua velocidade será: 9,8 m/s + 9,8m/s = 19,6 m/s.
  • No fim de 3 segundos sua velocidade será: 19,6 m/s + 9,8m/s = 29,4 m/s.

Observe a Figura 1. No seu lado esquerdo mostramos as posições A0, A1, A2, A3, ocupadas por este corpo em intervalos iguais de 1 segundo, desde o momento em que é largado (0 segundos) até atingir o solo (3 segundos). (Note que os espaços percorridos nestes intervalos são cada vez maiores pois a velocidade está crescendo continua­mente).

Text Box:  Figura 1
Figura 1

Já no lado direito da mesma figura, indicamos as posições B0, B1, B2, B3, ocupadas, nos mesmos instantes de tempo por um outro corpo que foi projetado horizontalmente, a partir da mesma altura, com a velocidade inicial de 10 m/s.

Observamos que:

  • no fim de um mesmo intervalo de tempo os dois corpos encontram-se na mesma altura; isto é, caíram a mesma distância, embora, somente um deles o tenha feito em linha reta;
  • o corpo que foi projetado horizontalmente continua caminhando nesta direção, com a mesma velocidade de 10 m/s.

Veja que ele está a 10 metros à direita da posição inicial no fim de 1 segundo, 20 m no fim de 2 segundos, 30 m no fim de 3 segundos, etc..

  • Podemos ir da posição inicial B0, para a posição B1 (1 segundo depois), num processo que envolve duas etapas: primeiro andamos 10 metros em 1 segundo na direção horizontal até atingir o ponto C1, e depois caímos de C1 até B1, durante o mesmo tempo, como se a velocidade inicial fosse nula. Da mesma maneira podemos ir de B0, até B2, indo primeiro até C2, mantendo constante a velocidade inicial (20 metros em 2 segundos), e depois caindo durante 2 segundos até atingir a posição B2. Desta maneira o movimento sempre pode ser dividido em duas partes percorridas no mesmo tempo: uma horizontalmente com a mesma velocidade inicial e a outra caindo, a partir do repouso, na direção vertical (notemos que o tempo de queda é o mesmo para qualquer valor da velocidade horizontal; o alcance de um projétil disparado horizontalmente aumenta com a velocidade porque no mesmo tempo ele caminha uma distância maior).

Para compreender a órbita circular do nosso satélite é importante ter em mente que a Figura 1 só é boa para descrever o movimento dos corpos projetados em baixa velocidade; e isto por duas boas razões. A primeira é que no caso de velocidades maiores devemos levar em conta a diminuição da velocidade horizontal devida ao atrito com o ar. A segunda, que nos interessa mais de perto no momento, é que na Figura 1 consideramos o chão como se fosse plano, com a aceleração de gravidade atuando sempre na mesma direção (vertical). Ora, se a velocidade inicial for muito alta, a distância horizontal percorrida pelo corpo pode ser suficientemente grande para que seja necessário levar em conta a curvatura da Terra. De fato, consideremos a figura 2, onde aparece um satélite projetado tangencialmente da Terra de uma altura h.

Text Box:  Figura 2
Figura 2

Notemos, primeiramente que se não houvesse a atração terrestre, o satélite se afastaria do nosso planeta, seguindo a direção B0C1. É por causa da atração da Terra que o satélite “cai” a distância C1B1, permanecendo, por causa disto, numa altura constante h acima da superfície terrestre.

É interessante comparar a Figura 2 com o lado direito da Figura 1. Nesta a superfície da Terra foi considerada como plana (o que é uma boa aproximação apenas para curtas distâncias), de modo que a velocidade inicial é paralela ao solo e a força da gravidade curva a trajetória até que este seja atingido.

Já na Figura 2, onde levamos em conta a forma esférica da Terra (por causa de alta velocidade dos satélites), a força de gravidade curva a trajetória de modo a mantê-lo numa distância constante (do contrário o satélite iria embora para sempre). A rigor, para usarmos na Figura 2 os mesmos resultados da Figura 1, o ângulo no vértice O do triângulo B0OC1 deve ser pequeno, de modo a podermos desprezar a mudança na direção da força de gravidade ao longo do arco B0B1 Deste modo, a melhor resposta para o título deste artigo deverá ser: os satélites artificiais estão sempre caindo, e é justamente por isto que sua trajetória pode ser circular.

Para encerrar este artigo vale a pena observar, ainda na Figura 2, que para manter o satélite sempre na mesma distância da Terra é preciso que este “caia” a distância C1B1 no mesmo tempo em que ele andaria o comprimento B0C1, caso a gravidade não existisse.

Não é difícil perceber que isto não é possível com qualquer valor de velocidade inicial. Na verdade, fixada uma distância da Terra, só existe um valor que corresponda a uma órbita exatamente circular. Para um movimento feito junto à superfície da Terra esta velocidade é de 7900 m/s, suficiente para dar uma volta ao longo de equador em aproximadamente 1 hora e 25 minutos.

É claro que este movimento nunca poderia ser realizado dentro da atmosfera terrestre pois a resistência do ar nesta velocidade é muito grande (suficiente para destruir o satélite por causa do calor produzido pelo atrito). Esta é a razão pela qual os satélites se movimentam em altitudes elevadas, onde a densidade da atmosfera é desprezível.

E já que estamos falando em satélites, não é justo que nos esqueçamos do nosso satélite natural: a lua.

Para aplicar estes mesmos raciocínios ao movimento lunar, basta leva em conta o fato de que a atração da Terra diminui com o quadrado da distância, razão pela qual a aceleração da gravidade na região onde está a lua é 3600 vezes menor do que na superfície da Terra. O resultado disto é que a velocidade da lua é menor do que a de um satélite artificial o que, somado com um percurso maior para dar uma volta em torno da Terra, resulta num período de 27 dias e 8 horas aproximadamente.

Você quer saber mais?

http://cdcc.usp.br/

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Plínio Salgado.